Часть 1. Основные постановки задач анализа данных

Глава 1. Выборочные исследования 
 
	Термин «выборочные исследования» применяют, когда невозможно изучить все единицы представляющей интерес совокупности. Приходится знакомиться с частью совокупности - с выборкой, а затем с помощью вероятностно – статистических методов и моделей переносить выводы с выборки на всю совокупность. Выборочные исследования посвящены практически важным способам получения и анализа статистических данных и поэтому составляют важный раздел статистических методов, эконометрики и прикладной статистики [1]. 

1.1. Организация выборочных исследований

	В качестве примера рассмотрим выборочные исследования предпочтений потребителей, которые часто проводят специалисты по маркетингу (изучению рынка).
	Оценивание функции спроса. Функция спроса часто встречается в учебниках по экономической теории, но при этом обычно не рассказывается, как она получена. Между тем оценить ее по эмпирическим данным не так уж трудно. Например, можно выяснять ожидаемый спрос с помощью следующего простого приема - спрашиваем потенциальных потребителей: «Какую максимальную цену Вы заплатили бы за такой-то товар?» Пусть для определенности выборка состояла из 20 опрошенных. Они назвали следующие максимально допустимые для них цены:
40, 25, 30, 50, 35, 20, 50, 32, 15, 40,
20, 40, 45, 30, 50, 25, 35, 20, 35, 40.
	 Сначала названные опрошенными величины упорядочим в порядке возрастания. Результаты представлены в табл.1.1. В первом столбце - номера различных численных значений (в порядке возрастания), названных потребителями. Во втором столбце приведены сами значения цены, названные ими. В третьем столбце указано, сколько раз названо то или иное значение.

Таблица 1.1 
Эмпирическая оценка функции спроса и ее использование
№ п/п (i)	Цена 	Повто-ры 	Спрос
	Прибыль
	Прибыль
	Прибыль 
	
1	15	1	20	100	0	-	
2	20	3	19	190	95	-	
3	25	2	16	240	160	0	
4	30	2	14	280	210	70	
5	32	1	12	264	204	84	
6	35	3	11	275	220	110	
7	40	4	8	240	200	120	
8	45	1	4	140	120	80	
9	50	3	3	120	105	75	

	Таким образом, 20 потребителей назвали 9 конкретных значений цены (максимально допустимых, или приемлемых для них значений), каждое из значений, как видно из третьего столбца, названо от 1 до 4 раз. Теперь легко построить выборочную функцию спроса в зависимости от цены. Она будет представлена в четвертом столбце, который заполним снизу вверх. Спрос как функция от цены р (от price (англ.) – спрос) обозначен D(p) (от demand (англ.) – спрос). Если мы будем предлагать товар по цене свыше 50 руб., то его не купит никто из опрошенных. При цене 50 руб. появляются 3 покупателя. Записываем 3 в четвертый столбец в девятую строку. А если цену понизить до 45? Тогда товар купят четверо – тот единственный, для кого максимально возможная цена - 45, и те трое, кто был согласен на более высокую цену – 50 руб. Таким образом, легко заполнить столбец 4, действуя по правилу: значение в клетке четвертого столбца равно сумме значений в находящейся слева клетке третьего столбца и в лежащей снизу клетке четвертого столбца. Например, за 30 руб. купят товар 14 человек, а за 20 руб. - 19.
	Зависимость спроса от цены - это зависимость четвертого столбца от второго. Табл. 1.1 дает нам девять точек такой зависимости. Зависимость можно представить на рисунке, в координатах «спрос – цена». Если абсцисса - это спрос, а ордината - цена, то девять точек на кривой спроса, перечисленные в порядке возрастания абсциссы, имеют вид:
(3; 50), (4; 45), (8; 40), (11; 35), (12; 32), 
(14; 30), (16; 25), (19; 20), (20; 15).
 Эти девять точек можно использовать для построения кривой спроса каким-либо графическим (сделайте чертеж!) или расчетным способом, например, методом наименьших квадратов (см. ниже главу 3). Кривая спроса, как и следует ожидать согласно учебникам экономической теории, убывает, имея направления от левого верхнего угла чертежа к правому. Однако заметны отклонения от гладкого вида функции, связанные, в частности, с естественным пристрастием потребителей к круглым числам. Заметьте, все опрошенные, кроме одного, назвали числа, кратные 5 руб.
	Расчет оптимальной цены. Данные табл. 1.1 могут быть использованы для выбора цены продавцом-монополистом. Или организацией, действующей на рынке монополистической конкуренции. Пусть расходы на изготовление или оптовую покупку единицы товара равны 10 руб. По какой цене ее продавать на том рынке, функцию спроса для которого мы только что нашли? Для ответа на этот вопрос вычислим суммарную прибыль, т.е. произведение прибыли на одной единице товара (p-10) на число проданных (точнее, запрошенных) экземпляров D(p). Результаты приведены в пятом столбце табл.1.1. Видно, что максимальная прибыль, равная 280 руб., достигается при цене 30 руб. за единицу товара. При этом из 20 потенциальных покупателей окажутся в состоянии заплатить за книгу 14, т.е. 70%.
	Если же удельные издержки производства, приходящиеся на одну единицу товара (или оптовая цена), повысятся до 15 руб., то данные столбца 6 табл.1.1 показывают, что максимальная прибыль, равная 220 руб. (она, разумеется, меньше, чем в предыдущем случае), достигается при более высокой цене - 35 руб. Эта цена доступна 11 потенциальным покупателям, т.е. 55% от всех возможных покупателей. При дальнейшем повышении издержек, скажем, до 25 руб., как вытекает из данных столбца 7 табл.1, максимальная прибыль, равная 120 руб., достигается при цене 40 руб. за единицу товара, что доступно 8 лицам, т.е. 40% покупателей. Отметьте, что при повышении оптовой цены на 10 руб. оказалось выгодным увеличить розничную лишь на 5, поскольку более резкое повышение привело бы к такому сокращению спроса, которое перекрыло бы эффект от повышения удельной прибыли (т.е. прибыли, приходящейся на одну проданную единицу товара). 
	Замечание. При более строгом подходе к использованию терминов надо вместо «прибыли» говорить о «маржинальной прибыли», а вместо «удельных издержек» – о «переменных издержках» (на одну единицу продукции), поскольку постоянные издержки не учитываем. Кроме того, спрос целесообразно выражать не в числе потребителей, а в процентах от общего числа потенциальных потребителей. Мы не сочли необходимым придерживаться подобных уточнений, поскольку цель настоящей главы – в демонстрации возможности использования в маркетинговых исследованиях подходов, основанных на организационно-экономическом статистическом моделировании.
	Представляет интерес анализ оптимального объема выпуска при различных значениях удельных издержек (табл.1.2).
	В табл. 1.2 звездочками указаны максимальные значения прибыли при том или ином значении издержек, не включенном в табл. 1.1. Для легкости обозрения результаты об оптимальных объемах выпуска и соответствующих ценах из табл. 1.1 и табл. 1.2 приведены в табл. 1.3. 
Таблица 1.2
Прибыль при различных значениях издержек
№ (i)	Цена 	Спрос
	Прибыль
	Прибыль
	Прибыль 
	Прибыль 
	Прибыль 
	
1	15	20	200	-	-	-	-	
2	20	19	285	0	-	-	-	
3	25	16	320	80	-	-	-	
4	30	14	350 *	140	0	-	-	
5	32	12	324	144	24	-	-	
6	35	11	330	165 *	55	0	-	
7	40	8	280	160	80 *	40	0	
8	45	4	160	100	60	40	20	
9	50	3	135	90	60	45 *	30 *	

Таблица 1.3 
Зависимость оптимального выпуска и цены от издержек
Издержки	5	10	15	20	25	30	35	40	
Оптимальный выпуск	14	14	11	11	8	8	3	3	
Цена	30	30	35	35	40	40	50	50	

	Как видно из табл. 1.3, с ростом издержек оптимальный выпуск падает, а цена растет. При этом изменение издержек на 5 единиц может вызывать, а может и не вызывать повышения цены. В этом проявляется микроструктура функции спроса – небольшое повышение цены может привести к тому, что значительные группы покупателей откажутся от покупок, и прибыль упадет. 
	Этот эффект напоминает известное в экономической теории разделение налогового бремени между производителем и потребителем. Неверно говорить, что производитель перекладывает издержки или, конкретно, налоги, на потребителя, повышая цену на их величину, поскольку при этом сокращается спрос (и выпуск), а потому и прибыль производителя.
	Дальнейшее ясно - если оптовая цена будет повышаться, то и дающая максимальную прибыль розничная цена также будет повышаться, и все меньшая доля покупателей сможет приобрести товар. Крайняя точка - оптовая цена, равная 45 руб. Тогда только трое (15%) купят товар за 50 руб., а прибыль продавца составит только 15 руб. Наглядно видно, что повышение издержек производства приводит к ориентации производителя на наиболее богатые слои населения. Но и повышение цен (до оптимального для монополиста-производителя уровня) не приводит к повышению прибыли, напротив, она снижается, и при этом большинство потенциальных потребителей не в состоянии купить товар.  
	Рыночные структуры не в состоянии обеспечить всех желающих – это просто не выгодно. Так, из 20 опрошенных лишь 14, т.е. 70%, могут рассчитывать на покупку, даже при минимальных издержках и ценах. Если общество желает чем-либо обеспечить всех граждан, оно должно раздавать это благо бесплатно, как это делается, например, с учебниками в школах.
	Описанный здесь метод оценивания спроса разработан в Институте высоких статистических технологий и эконометрики в 1993 г.
	Для изучения предпочтений потребителей часто используют более изощренные методы. Рассмотрим некоторые из них.
	Маркетинговые опросы потребителей. Потенциального покупателя интересует не только цена, но и качество товара, красота упаковки (например, для подарочных наборов конфет) и многое другое. Хочешь узнать, чего желает потребитель - спроси его. Эта простая мысль объясняет популярность маркетинговых опросов. 
	Бесспорно, что основная цель производственной и торговой деятельности - удовлетворение потребностей людей. Как получить представление об этих потребностях? Очевидно, необходимо опросить потребителей. В американском учебнике по рекламному делу [2] подробно рассматриваются различные методы опроса потребителей и обработки результатов с помощью методов эконометрики. Расскажем о результатах опроса потребителей растворимого кофе. Исследование проведено Институтом высоких статистических технологий и эконометрики по заказу фирмы АОЗТ «Д-2» в апреле 1994 г. в Москве. 
	Сбор данных. Один из важнейших разделов прикладной статистики – сбор данных. Обсудим постановку задачи в случае опроса потребителей растворимого кофе. Заказчика интересуют предпочтения как продавцов кофе (розничных и мелкооптовых), так и непосредственно потребителей. В результате совместного обсуждения было признано целесообразным использовать для опроса и тех, и других одну и ту же анкету из 14 основных и 4 социально-демографических вопросов с добавлением двух вопросов специально для продавцов. Анкета была разработана совместно представителями заказчика и исполнителя и утверждена заказчиком. В табл.1.4 приведен несколько сокращенный вариант этой анкеты.

Таблица 1.4 
Анкета для потребителей растворимого кофе (в сокращении)
__________________________________________________________
Дорогой потребитель растворимого кофе,
	Институт высоких статистических технологий и эконометрики просит Вас ответить на несколько простых вопросов о том, какой кофе Вы любите. Ваши ответы позволят составить объективное представление о вкусах российских любителей кофе и будут способствовать повышению качества этого товара на российском рынке.
1. Часто ли Вы пьете растворимый кофе: иногда, каждый день 1 чашку, 2-3 чашки, больше, чем 3 чашки.
(Здесь и далее подчеркните нужное.)
2. Что Вы цените в кофе: вкус, аромат, крепость, цвет, отсутствие вредных для здоровья веществ, что-либо еще (сообщите нам, что именно) ____________________________.
3. Как часто покупаете кофе: по мере надобности или по возможности?
4. Какую марку растворимого кофе Вы обычно покупаете? ______
5. Какой объем упаковки Вы предпочитаете: в пакетиках, маленькая банка, средняя банка, большая банка, обязательно стеклянная банка, все равно.
6. Где покупаете растворимый кофе: в ларьках, в продуктовых магазинах, в специализированных отделах и магазинах, все равно, где купить, где-либо еще (опишите, пожалуйста) ______________.
7. Были ли случаи, когда купленный Вами кофе оказывался низкого качества? Да, нет.
8. Согласны ли Вы, что за высокое и гарантированное  качество продукта можно и заплатить несколько дороже? Да, нет.
9. На сколько дороже Вы готовы платить за экологически безопасный кофе? _________________________________________
10. Считаете ли Вы нужным, чтобы вредные для здоровья вещества, в частности, ионы тяжелых металлов, не проникали из материала упаковки в растворимый кофе? Да, нет. 
	Мы планируем сравнить потребительские предпочтения различных категорий жителей нашей страны. Поэтому просим ответить еще на несколько вопросов.
11. Пол: женский, мужской.
12. Возраст: до 20, 20-30, 30-50, более 50.
13. Род занятий: учащийся, работающий, пенсионер, инженер, врач,  преподаватель, служащий, менеджер, предприниматель, научный работник, рабочий, др. (пожалуйста, расшифруйте).
14. Вся Ваша семья любит растворимый кофе или же Вы -  единственный любитель этого восхитительного напитка современного человека?  Вся семья, я один (одна).
	Спасибо за Ваше содействие работе по повышению качества  продуктов на российском рынке!

	Выбор метода опроса. Широко применяются процедуры опроса, когда респонденты (так социологи и маркетологи называют тех, от кого получают информацию, т.е. опрашиваемых) самостоятельно заполняют анкеты (розданные им или полученные по почте), а также личные и телефонные интервью. Из этих процедур нами выбрано личное интервью по следующим причинам.
	Возврат почтовых анкет сравнительно невелик (в данном случае можно было ожидать не более 5-10%), оттянут по времени и искажает структуру совокупности потребителей (наиболее динамичные люди вряд ли найдут время для ответа на подобную анкету). 
	Самостоятельное заполнение анкеты, как показали специально проведенные эксперименты, не позволяет получить полные ответы на поставленные вопросы. Респондент утомляется или отвлекается, отказывается отвечать на часть вопросов, иногда не понимает их или отвечает не по существу. Некоторые категории респондентов, например, продавцы в киосках, отказываются заполнять анкеты, но готовы устно ответить на вопросы.
	Телефонный опрос искажает совокупность потребителей, поскольку наиболее активных индивидуумов трудно застать дома и уговорить ответить на вопросы анкеты. Репрезентативность нарушается и потому, что на один номер телефона может приходиться различное количество продавцов и потребителей растворимого кофе, а некоторые из них не имеют телефонов вообще. Анкета достаточно длинна, и разговор по домашнему и тем более служебному телефону респондента может быть прекращен досрочно по его инициативе. Иногородних продавцов и потребителей растворимого кофе, приехавших в Москву, по телефону опросить практически невозможно.
	Метод личного интервью лишен перечисленных недостатков. Соответствующим образом подготовленный интервьюер, получив согласие на интервью, удерживает внимание собеседника на анкете, добивается получения ответов на все её вопросы, контролируя при этом соответствие ответов реальной позиции респондента. Ясно, что успех интервьюирования зависит от личных качеств и подготовки интервьюера. Однако расходы на получение одной анкеты при использовании этого метода больше, чем для других рассмотренных методов.
	Формулировки вопросов. В маркетинговых и социологических опросах используют три типа вопросов - закрытые, открытые и полузакрытые, они же полуоткрытые. При ответе на закрытые вопросы респондент может выбирать лишь из сформулированных составителями анкеты вариантов ответа. В качестве ответа на открытые вопросы респондента просят изложить свое мнение в свободной форме. Полузакрытые, они же полуоткрытые вопросы занимают промежуточное положение - кроме перечисленных в анкете вариантов, респондент может добавить свои соображения.
	В социологических публикациях, посвященных выборочным исследованиям, продолжается дискуссия по поводу «мягких» и «жестких» форм сбора данных. Т.е. фактически о том, какого типа вопросы более целесообразно использовать - открытые или закрытые.
	Преимущество открытых вопросов в том, что респондент может свободно высказать свое мнение так, как сочтет нужным. Их недостаток - в сложности сопоставления мнений различных респондентов. Для такого сопоставления и получения сводных характеристик организаторы опроса вынуждены сами шифровать ответы на открытые вопросы, применяя разработанную ими схему шифровки. 
	Преимущество закрытых вопросов - такую шифровку проводит сам респондент. Однако при этом организаторы опроса уподобляются древнегреческому мифическому персонажу Прокрусту. Как известно, Прокруст приглашал путников заночевать у него. Укладывал их на кровать. Если путник был маленького роста, он вытягивал его ноги так, чтобы они доставали до конца кровати. Если же путник оказывался высоким и ноги его торчали - он обрубал их так, чтобы достигнуть стандарта: «рост» путника должен равняться длине кровати. Так и организаторы опроса, применяя закрытые вопросы, заставляют респондента «вытягивать» или «обрубать» свое мнение, чтобы выразить его с помощью приведенных в формулировке вопроса возможных ответов.
	Ясно, что для обработки данных по группам и сравнения групп между собой нужны формализованные данные, и фактически речь может идти лишь о том, кто - респондент или маркетолог (социолог, психолог и др.) - будет шифровать ответы. В проекте «Потребители растворимого кофе» практически для всех вопросов варианты ответов можно перечислить заранее, т.е. можно широко использовать закрытые вопросы. В отличие от опросов с вопросами типа: «Одобряете ли Вы идущие в России реформы?», в которых естественно просить респондента расшифровать, что он понимает под «реформами» (открытый вопрос). Поэтому в используемой в описываемом проекте анкете использовались в основном закрытые и полузакрытые вопросы. Как показали результаты обработки, этот подход оказался правильным - лишь в небольшом числе анкет оказались вписаны свои варианты ответов. Вместе с тем демонстрировалось уважение к мнению респондента, не выдвигалось требование обязательного выбора из заданного множества ответов - респондент мог добавить свое, но редко пользовался этой возможностью (не более чем в 5% случаев).
	В последнем вопросе анкеты респонденту предлагалось стать постоянным участником опросов о качестве товаров народного потребления. Ряд респондентов откликнулся на это предложение, в результате стало возможным развертывание постоянной сети «экспертов по качеству», подобной аналогичным в США и других странах.

1.2. Модели случайных выборок

	Статистические методы выборочных исследований основаны на вероятностных моделях, описывающих получение ответов опрашиваемых на вопросы анкет. В случае ответов типа «да» - «нет» наиболее распространенными являются две вероятностные модели—биномиальная и гипергеометрическая. 
	В биномиальной модели предполагается, что ответы n опрашиваемых можно рассматривать как совокупность n независимых одинаково распределенных случайных величин Х1, Х2,....,Хn , где Хi  = 1, если i‑ый респондент сказал «да», и Хi = 0, если его ответ - «нет». Тогда число Х ответов «да» в выборке равно
Х= Х1+ Х2+...+ Хn .	(1.1)
	Из формулы (1.1) и Центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. главу 14 настоящего учебника) вытекает, что при увеличении объема выборки n распределение Х сближается с нормальным распределением. Известно, что распределение Х имеет вид
Р(Х= k) =  Cnk pk (1—p)n-k , 	(1.2)
где Cnk - число сочетаний из n элементов по k, а p - доля ответов «да» в генеральной совокупности, т.е. p = Р(Хi = 1). Формула (1.2) задает биномиальное распределение, часто используемое при вероятностном моделировании реальных явлений и процессов.
	Гипергеометрическое распределение соответствует иной схеме - случайному отбору респондентов в выборку. Пусть среди N лиц, составляющих генеральную совокупность, имеется D лиц, чье мнение - «да». Случайность отбора респондентов в выборку означает, что каждое лицо имеет одинаковые шансы быть отобранным. Мало того, ни одна пара потенциальных респондентов не должна иметь при отборе в выборку преимущества перед любой другой парой. То же самое — для троек, четверок и т.д. Это условие выполнено тогда и только тогда, когда каждое из  сочетаний по n лиц из N имеет одинаковые шансы быть отобранным в качестве выборки. Вероятность того, что будет отобрано заранее заданное сочетание, равна, очевидно, 1/.
	Пусть Y —число сказавших «да» лиц в случайной выборке, организованной таким образом. Известно, что тогда P(Y = k) – гипергеометрическое распределение, т.е.
.		(1.3)
	Отбор случайной выборки согласно описанным правилам организуют при проведении различных лотерей. Например, отбирают 6 номеров из 49. Тогда генеральная совокупность состоит из 49 единиц (номеров), а выборка - из 6. В этом случае отбирают номера, а не респондентов, но вероятностная модель - та же. Удобно говорить, что генеральная совокупность и выборка состоят из единиц. В одном случае единицы - это люди (лица, потенциальные респонденты), в другом - номера. В статистических метода управления качеством рассматриваются единицы продукции - детали или изделия.
	Замечательный математический факт состоит в том, что биномиальная модель (1.2) и гипергеометрическая модель (1.3) весьма близки (с практической точки зрения совпадают), когда объем генеральной совокупности (партии) по крайней мере в 10 раз превышает объем выборки. Другими словами, можно принять, что
Р(Х = k) = P(Y = k),	(1.4)
если объем выборки мал по сравнению с объемом партии. При этом в качестве p в левой части формулы (1.4) берут D/N. 
	Близость результатов, получаемых с помощью биномиальной и гипергеометрической моделей, весьма важна не только с практической, но и с методологической точки зрения. Дело в том, что эти модели исходят из принципиально различных методологических предпосылок. В биномиальной модели случайность присуща каждому респонденту. Он с какой-то вероятностью отвечает «да», а с какой-то - «нет» (сумма этих вероятностей, очевидно, равна 1). В то же время в гипергеометрической модели ответ респондента полностью определен, а случайность проявляется лишь в отборе, вносится социологом или маркетологом при составлении выборки. 
	В науках о человеке противоречие между рассматриваемыми моделями выборки четко выражено. В среде специалистов, изучающих человека (маркетологов, социологов, психологов, политологов и др.) давно идет дискуссия о роли случайности в поведении человека. А именно, есть ли случайность в поведении отдельно взятого человека или же случайность проявляется лишь в отборе выборки из генеральной совокупности. 
	Биномиальная модель предполагает, что поведение человека, в частности, выбор им определенного варианта при ответе на вопрос, определяется с участием случайных причин. Например, человек может случайно сказать «да», случайно — «нет». Некоторые философы отрицают случайность, присущую поведению человека согласно биномиальной модели. Они верят в причинность и считают поведение конкретного человека практически полностью детерминированным (его взглядами, психофизиологическими особенностями, прежним опытом, наследственностью и др.). Поэтому они принимают гипергеометрическую модель и считают, что случайность отличия ответов в выборке от ответов во всей генеральной совокупности определяется всецело случайностью, вносимой при отборе единиц наблюдения в выборку.
	Сформулированные выше математические результаты (соотношение (1.4)) показывают, что позиция в этой давней дискуссии практически не влияет на алгоритмы обработки данных. Следовательно, во многих случаях нет необходимости принимать чью-либо сторону в этом споре, поскольку обе модели дают близкие численные результаты. 
	Отличия проявляются лишь при обсуждении вопроса о том, какую выборку считать представительной. В терминах контроля качества продукции - является ли таковой выборка, составленная из 20 изделий, лежащих сверху в первом вскрытом ящике? В биномиальной модели вполне допустим ответ «да», в гипергеометрической -  только «нет».
	Биномиальная модель легче для теоретического изучения, поэтому будем её рассматривать в дальнейшем. Однако при реальном опросе лучше формировать выборку, исходя из гипергеометрической модели. Это делают, выбирая респондентов из списка избирателей (для включения в выборку) с помощью датчиков псевдослучайных чисел на ЭВМ или с помощью таблиц псевдослучайных чисел. Алгоритмы формирования выборки встраивают во все современные программные продукты, предназначенные для поддержки проведения маркетинговых или социологических опросов, организации статистического контроля качества и др.
	Обоснование объема выборки и проведение опроса. Вернемся к анализу результатов опроса потребителей растворимого кофе, о котором шла речь в предыдущем разделе. Модели выборочных исследований часто опираются на предположение, что реальную выборку можно описывать как «случайную выборку из конечной совокупности». Типа той, когда из списков избирателей с помощью датчика случайных чисел отбирается необходимое число номеров для формирования жюри присяжных заседателей. В рассматриваемом исследовании нельзя обеспечить формирование подобной выборки - не существует реестра потребителей растворимого кофе. Однако в этом и нет необходимости. Поскольку гипергеометрическое распределение хорошо приближается биномиальным, если объем выборки по крайней мере в 10 раз меньше объема всей совокупности (в рассматриваемом случае это так), то правомерно использование биномиальной модели, согласно которой мнение респондента (ответы на все вопросы анкеты) рассматривается как случайный вектор, а все такие вектора независимы между собой. Другими словами, можно использовать модель простой случайной выборки. 

1.3. Доверительное оценивание доли

	Зачем проводятся выборочные исследования? Чтобы получить необходимую информацию о генеральной совокупности. Для этого необходимо перенести выводы с выборки на генеральную совокупность. Как и с какой точностью можно это сделать?
	Рассмотрим эту проблему для простейшего случая одного вопроса с двумя возможными ответами - «да» и «нет».
	Биномиальная модель выборки как раз и применяется для описания ответов на закрытые вопросы, имеющие две подсказки, например, «да» и «нет». Конечно, пары подсказок могут быть иными. Например, «согласен» и «не согласен». Или при опросе потребителей кондитерских товаров первая подсказка может иметь такой вид: «Больше люблю «Марс», чем «Сникерс»«. А вторая тогда такова: «Больше люблю «Сникерс», чем «Марс»».
	Пусть объем выборки равен n. Тогда ответы опрашиваемых можно представить как X1 , X2 ,…,Xn , где Xi = 1, если i-й респондент выбрал первую подсказку, и Xi = 0, если i-й респондент выбрал вторую подсказку, i=1,2,…,n. В вероятностной модели предполагается, что случайные величины X1, X2, …, Xn независимы и одинаково распределены. Поскольку эти случайные величины принимают два значения, то ситуация описывается одним параметром р - долей выбирающих первую подсказку во всей генеральной совокупности. Тогда 
Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1 - р, i=1,2,…,n.
Пусть m = X1 + X2 +…+Xn . Оценкой вероятности р является частота р*=m/n. При этом математическое ожидание М(р*) и дисперсия D(p*) имеют вид
М(р*) = р, D(p*)= p(1-p)/n.
По Закону Больших Чисел (ЗБЧ) теории вероятностей (в данном случае - по теореме Бернулли) частота р* сходится (т.е. безгранично приближается) к вероятности р при росте объема выборки (см. главу 14). Это означает, что оценивание проводится тем точнее, чем больше объем выборки. Точность оценивания можно указать. Займемся этим.
	По теореме Муавра-Лапласа теории вероятностей

где - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,

где = 3,1415925…-отношение длины окружности к ее диаметру, e = 2,718281828… - основание натуральных логарифмов. График плотности стандартного нормального распределения

был очень точно изображен на германской денежной банкноте в 10 немецких марок (до введения евро). Банкнота посвящена великому немецкому математику Карлу Гауссу (1777-1855), среди основных работ которого есть относящиеся к нормальному распределению. Эта подробность демонстрирует, что в Германии (и тем более в англосаксонских странах) гораздо шире распространено знакомство с основами теории вероятностей и математической статистики, чем в нашей стране.   
	В настоящее время нет необходимости вычислять функцию стандартного нормального распределения и ее плотность по приведенным выше формулам, поскольку давно составлены подробные таблицы (см., например, [3]), а распространенные программные продукты содержат алгоритмы нахождения этих функций.
	С помощью теоремы Муавра-Лапласа могут быть построены доверительные интервалы для неизвестной статистику вероятности. Из этой теоремы непосредственно следует, что

Поскольку функция стандартного нормального распределения симметрична относительно 0, т.е.  то справедливо полезное равенство 
	Зададим характеристику надежности переноса выводов с выборки на генеральную совокупность - доверительную вероятность , близкую к 1. Пусть функция  удовлетворяет условию

т.е.

Из последнего предельного соотношения следует, что 

	К сожалению, это соотношение нельзя непосредственно использовать для доверительного оценивания, поскольку верхняя и нижняя границы зависят от неизвестной вероятности. Однако с помощью метода наследования сходимости (см. главу 14 настоящего учебника) можно доказать, что

Следовательно, нижняя доверительная граница имеет вид

в то время как верхняя доверительная граница такова:

	Наиболее распространенным (в прикладных исследованиях) значением доверительной вероятности является  Иногда употребляют термин «95% доверительный интервал». Тогда  
	Пример 1. Пусть n = 500, m = 200. Тогда p* = 0,40. Найдем доверительный интервал для 

	Таким образом, хотя в достаточно большой выборке 40% респондентов говорят «да», можно утверждать лишь, что во всей генеральной совокупности таких от 35,7 до 44,3% - крайние значения отличаются на 8,6%. 
	Замечание. С достаточной для практики точностью можно заменить 1,96 на 2.
	Величина

называется ошибкой выборки. Обычно, как в примере 1, используют значение доверительной вероятности  и множитель 
	Удобные для использования в практической работе специалиста по выборочным исследованиям, маркетолога и социолога таблицы точности оценивания разработаны во ВЦИОМ (Всероссийском центре по изучению общественного мнения). Приведем здесь несколько модифицированный вариант одной из них (табл. 1.5).
 
Таблица 1.5 
Допустимая величина ошибки выборки (в процентах)
 Объем группы n	1000	750	600	400	200	100	
Доля р*, в %							
Около 10 или 90	2	3	3	4	5	7	
Около 20 или 80	3	4	4	5	7	9	
Около 30 или 70	4	4	4	6	9	10	
Около 40 или 60	4	4	5	6	8	11	
Около 50	4	4	5	6	8	11	

	В условиях рассмотренного выше примера надо взять вторую снизу строку. Объема выборки 500 нет в таблице, но есть объемы 400 и 600, которым соответствуют ошибки в 6% и 5% соответственно. Следовательно, в условиях примера целесообразно оценить ошибку как ((5+6)/2)% = 5,5%. Эта величина несколько больше, чем рассчитанная выше (4,3%). С чем связано это различие? Дело в том, что таблица ВЦИОМ связана не с доверительной вероятностью  а с доверительной вероятностью  которой соответствует множитель  Расчет ошибки по приведенным выше формулам дает 5,65%, что практически совпадает со значением, найденным по табл.1.5.
	Необходимый объем выборки. В биномиальной модели выборки оценивание характеристик происходит тем точнее, чем объем выборки больше. Часто спрашивают: «Какой объем выборки нужен?» Разработан ряд методов определения необходимого объема выборки. Они основаны на разных подходах. Либо на задании необходимой точности оценивания параметров. Либо на явной формулировке альтернативных гипотез, между которыми необходимо сделать выбор. Либо на учете погрешностей измерений (методы статистики интервальных данных). Ни один из этих подходов нельзя применить в рассматриваемом случае.
	Минимальный из обычно используемых объемов выборки n в  маркетинговых или социологических исследованиях - 100, максимальный - до 1000 и даже до 5000 и более (более 1000 - обычно в исследованиях, охватывающих ряд регионов страны, т.е. фактически разбивающихся на ряд отдельных исследований - как  в ряде исследований ВЦИОМ). По данным Института социологии Российской академии наук, среднее число анкет в социологическом исследовании не превышает 700. Поскольку стоимость исследования растет, по крайней мере, как линейная функция объема выборки, а точность повышается как квадратный корень из этого объема, то верхняя граница объема выборки определяется обычно из экономических соображений. Объемы пилотных исследований (т.е. проводящихся впервые, предварительно или как первые в сериях подобных) обычно ниже, чем объемы исследований по обкатанной программе.
	Нижняя граница определяется тем, что в минимальной по численности анализируемой подгруппе должно быть несколько десятков человек (не менее 30), поскольку по ответам попавших в эту подгруппу необходимо сделать обоснованные заключения, например, о предпочтениях соответствующей подгруппы в совокупности всех потребителей растворимого кофе. Учитывая деление опрашиваемых на продавцов и покупателей, на мужчин и женщин, на четыре градации по возрасту и восемь - по роду занятий, наличие 5 - 6 подсказок во многих вопросах, приходим к выводу о том, что в рассматриваемом проекте объем выборки должен быть не менее 400 - 500. Вместе с тем существенное превышение этого объема было признано нецелесообразным, поскольку исследование являлось пилотным.
	Поэтому в проекте «Потребители растворимого кофе» объем выборки был выбран равным 500. Анализ полученных результатов позволяет утверждать, что в соответствии с целями исследования выборку следует считать репрезентативной. 

1.4. Два прикладных выборочных исследования

	Продолжим обсуждение выборочного исследования потребителей растворимого кофе.
	Организация опроса. Интервьюерами работали молодые люди – студенты первого курса экономико-математического факультета Московского государственного института электроники и математики (технического университета) и лицея №1140, проходившие обучение по экономике, всего 40 человек, имеющих специальную подготовку по изучению рынка и проведению маркетинговых опросов потребителей и продавцов (в объеме 8 часов). Опрос продавцов проводился на рынках г. Москвы, действующих в Лужниках, у Киевского вокзала и в других местах. Опрос покупателей проводился на рынках, в магазинах, на улицах около киосков и ларьков, а также в домашней и служебной обстановке.
	Большое внимание уделялось качеству заполнения анкет. Интервьюеры были разбиты на шесть бригад, бригадиры персонально отвечали за качество заполнения анкет. Второй уровень контроля осуществляла специально созданная «группа организации опроса», третий происходил при вводе информации в базу данных. Каждая анкета заверена подписями интервьюера и бригадира, на ней указано место и время интервьюирования. Поэтому необходимо признать высокую достоверность собранных анкет.
	Обработка данных. В соответствии с целью исследования основной метод первичной обработки данных - построение частотных таблиц для ответов на отдельные вопросы. Кроме того, проводилось сравнение различных групп потребителей и продавцов, выделенных по социально-демографическим данным, с помощью критериев проверки однородности выборок (см. ниже). При более углубленном анализе применялись различные методы статистики объектов нечисловой природы (более 90% маркетинговых и социологических данных имеют нечисловую природу [4]). Использовались средства графического представления данных.
	Итоги опроса. Итак, по заданию одной из торговых фирм были изучены предпочтения покупателей и мелкооптовых продавцов растворимого кофе. Совместно с представителями заказчика был составлен опросный лист (анкета типа социологической) из 16 основных вопросов и 4 дополнительных, посвященных социально-демографической информации. Опрос проводился в форме интервью с 500 покупателями и продавцами кофе. Места опроса - рынки, лотки, киоски, продуктовые и специализированные магазины, т.е. охвачены все виды мест продаж кофе. Интервью проводили более 40 специально подготовленных (примерно по 8-часовой программе) студентов, разбитых на 7 бригад. После тщательной проверки бригадирами и группой обработки информация была введена в специально созданную базу данных. Затем проводилась разнообразная статистическая обработка, строились таблицы и диаграммы, проверялись статистические гипотезы и т.д. Заключительный этап - осмысление и интерпретация данных, подготовка итогового отчета и предложений для заказчиков. 
	Технология организации и проведения маркетинговых опросов лишь незначительно отличается от технологии социологических опросов, многократно описанной в литературе. Так, мы предпочли использовать полуоткрытые вопросы, в которых для опрашиваемого дан перечень подсказок, а при желании он может высказать свое мнение в свободной форме. Не уложившихся в подсказки оказалось около 5% , их мнения были внесены в базу данных и анализировались дополнительно. Для повышения надежности опроса о наиболее важных с точки зрения маркетинга моментах спрашивалось в нескольких вопросах. Были вопросы - ловушки, с помощью которых контролировалась «осмысленность» заполнения анкеты. Например, в вопросе: «Что Вы цените в кофе: вкус, аромат, крепость, наличие пенки...» ловушкой является включение «крепости» - ясно, что крепость зависит не от растворимого кофе самого по себе, а от его количества в чашке. В ловушку никто из 500 не попался - никто не отметил «крепость». Этот факт свидетельствует о надежности выводов проведенного опроса. Мы считали нецелесообразным задавать вопрос об уровне доходов (поскольку в большинстве случаев отвечают «средний», что невозможно связать с определенной величиной). Вместо такого вопроса мы спрашивали: «Как часто Вы покупаете кофе: по мере надобности или по возможности?». Поскольку кофе не является дефицитным товаром, первый ответ свидетельствовал о наличии достаточных денежных средств, второй - об их ограниченности (потребитель не всегда имел возможность позволить себе купить банку растворимого кофе). 
	Стоимость подобных исследований - 5-10 долл. на одного обследованного. При этом трудоемкость (и стоимость) начальной стадии - подготовки анкеты и интервьюеров, пробный опрос и др. - 30% от стоимости исследования. Стоимость непосредственно опроса - тоже 30%, ввод информации в компьютер и проведение расчетов, построение таблиц и графиков - 20%, интерпретация результатов, подготовка итогового отчета и предложений для заказчиков - 20%. Таким образом, стоимость собственно опроса в два с лишним раза меньше стоимости остальных стадий исследования. И в выполнении работы участвуют различные специалисты. На первой стадии – в основном нужны высококвалифицированные аналитики. На второй – многочисленные интервьюеры, в роли которых могут выступать студенты и школьники, прошедшие конкретный курс обучения в 8 - 10 часов. На третьей – работа с компьютером (надо уметь строить и обсчитывать электронные таблицы или базы данных, использовать статистические пакеты, составлять и печатать таблицы и диаграммы и т.п.). На четвертой – опять в основном нужны высококвалифицированные аналитики.   
	Приведем некоторые из полученных результатов. 
	а) В отличие от западных потребителей, отечественные не отдавали предпочтения стеклянным банкам по сравнению с жестяными. Поскольку жестяные банки дешевле стеклянных, то можно было порекомендовать (в 1994 г., когда проходил опрос) с целью снижения расходов закупку кофе в жестяных банках. 
	б) Отечественные потребители готовы платить на 10-20% больше за экологически безопасный кофе более высокого качества, имеющий сертификат Минздрава и символ экологической безопасности на упаковке.
	в) Средний объем потребления растворимого кофе одной семьей - 850 г в месяц.
	г) Потребители растворимого кофе могут быть разделены на классы (в другой терминологии – кластеры, типы). Есть «продвинутые» потребители, обращающие большое внимание на качество и экологическую безопасность, марку и страну производства, терпимо относящиеся к изменению цены. Эти «тонкие ценители» - в основном женщины от 30 до 50 лет, служащие, менеджеры, научные работники, преподаватели, врачи (т.е. лица с высшим образованием), пьющие кофе как дома, так и на работе, причем «кофейный ритуал» зачастую входит в процедуру деловых переговоров или совещаний. Противоположный по потребительскому поведению класс состоит из мужчин двух крайних возрастных групп - школьников и пенсионеров. Для них важна только цена, что очевидным образом объясняется недостатком денег.
	Результаты использованы заказчиком в рекламной кампании. В частности, обращалось внимание на сертификат Минздрава и на экологическую безопасность упаковки.  
	Оценивание функции спроса и моделирование рынка. Выпускник программы «Топ-менеджер» Академии народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации А.А. Пивень в 2003 г. оценил функцию спроса на продукцию своего предприятия. Расчет и установление оптимальной цены на изделие с точки зрения максимизации прибыли был произведен по описанному выше методу. В табл.1.6 приведена функция ожидаемого спроса в зависимости от цены. Как подсчитал А.А. Пивень, уровень издержек на производство 1 изделия составляет 42824,7 руб. (1350 у.е.). Для удобства все расчеты будем производить в условных единицах.
 
 Таблица 1.6
Функция ожидаемого спроса в зависимости от цены
№ п/п	Цена, у.е.	Объем продаж в год, шт.	Издержки на объ-ем производства	Выручка, у.е.	Прибыль, у.е.	
1	1 400	1 600	2 160 000	2 240 000	80 000	
2	1 500	1 500	2 025 000	2 250 000	225 000	
3	1 600	1 200	1 620 000	1 920 000	300 000	
4	1 700	1 000	1 350 000	1 700 000	350 000	
5	1 800	720	972 000	1 246 000	324 000	
6	1 900	500	675 000	950 000	275 000	
7	2 000	320	432 000	640 000	208 000	
8	2 100	170	229 500	357 000	127 500	
9	2 200	110	148 500	242 000	93 500	

	Как видно из приведенных расчетов, оптимальная цена на подъемник должна находиться в диапазоне 1600 – 1700 у.е.
 	На основе многомерной регрессионной зависимости методом наименьших квадратов (см. ниже главу 6) построена математическая модель рынка. Она довольно точно отражает реальное положение дел. При исходной цене 1650 у.е. продажи ориентировочно должны составить 1010 шт. На рис.1.1 приведена кривая спроса.
	Эти расчеты были сделаны при допущении, что издержки не меняются в течение длительного промежутка времени. Однако, в реальных условиях постоянный рост стоимости энергоресурсов и непрекращающаяся инфляция издержек (рост затрат на сырье, материалы, комплектующие изделия, рабочую силу) приводит к увеличению издержек. Поэтому А.А. Пивень проанализировал оптимальный объем выпуска при их различных значениях. Данные его расчетов приведены в табл.1.7. Поскольку инфляция в нашей стране заметно искажает стоимостные характеристики, используем для их описания условные единицы (у.е.). 

Рис.1.1. Кривая спроса на изделие

Таблица 1.7
Прибыль в зависимости от цены и издержек
№ п/п
	Цена, у.е.	Объем 
продаж, шт.	Прибыль (тыс. у.е.) при издержках на единицу продукции, у.е.	
			1350	1400	1450	1500	1550	1600	1650	1700	
1	1 400	1600	80	0	-	-	-	-	-	-	
2	1 500	1500	225	150	75	0	-	-	-	-	
3	1 600	1200	300	240	180	120	60	0	-	-	
4	1 700	1000	350	300	250	200	150	100	50	0	
5	1 800	720	324	288	252	216	180	144	108	72	
6	1 900	500	275	250	225	200	175	150	125	100	
7	2 000	320	208	192	176	160	144	128	112	96	
8	2 100	170	127,5	119	110,5	102	93,5	85	76,5	68	
9	2 200	110	93,5	88	82,5	77	71,5	66	60,5	55	

	Для удобства рассмотренные результаты оптимальных объемов производства при соответствующих ценах приведены в табл. 1.8.

Таблица 1.8
Оптимальные выпуск и цена в зависимости от издержек
Издержки	1350	1400	1450	1500	1550	1600	1650	1700	
Оптимальный выпуск	1000	1000	720	720	720	500	500	500	
Цена	1700	1700	1800	1800	1800	1900	1900	1900	

	Как видно из табл. 1.8, увеличение издержек ведет к снижению оптимального выпуска при росте цены. Хотя изменение издержек на 50 у.е. может не сразу привести к изменению цены. Необоснованная цена может «переключить» большую группу потребителей на другое, аналогичное изделие, имеющее сходный по уровню набор технических характеристик, но более низкую рыночную цену.  
	По данным функции спроса (табл. 1.7) проведем расчет эластичности спроса по цене. Под ценовой эластичностью спроса понимается степень реагирования рыночного спроса на изменение цен. В классическом понимании эластичность спроса по цене показывает,  насколько изменится объем спроса при изменении цены на 1%. Спрос квалифицируется как эластичный, если понижение цены вызывает такой рост оборота, при котором увеличение объема продаж с лихвой компенсирует более низкие цены. Если же понижение цены, приводя к некоторому увеличению объема продаж, тем не менее, не ведет к увеличению оборота или даже уменьшает его, то такой спрос называется неэластичным. Коэффициент ценовой эластичности спроса определяется по формуле:

где Q1, Q2 – значения объема продаж; P1, P2 – значения цены изделия. 
	В рассматриваемом случае KЦЭС  будет различен на протяжении всей функции спроса (рис. 1.1). Однако, произведем расчет на той части кривой (в том диапазоне), где присутствует расчетная цена подъемника, а именно: Q1 = 1200 шт.; Q2 = 720 шт.; P1 = 1600 у.е.; P2 = 1800у.е. В этом случае 

	Коэффициент KЦЭС имеет отрицательный знак и абсолютную величину, значительно превышающую 1. Это говорит о сильной обратной зависимости объемов продаж от цены. Спрос на подъемник эластичен. Валовая выручка увеличивается при снижении цены и уменьшается при ее повышении. Компании необходимо быть готовой к тому, что покупатели очень чутко реагируют на всякое повышение цены на изделие значительным снижением объемов закупок. Как отмечает А.А. Пивень, снижение эластичности спроса на изделие возможно только при общем росте благосостояния населения страны и в частности, значительного роста доходной части бюджетов промышленных предприятий. 
 
1.5. Проверка однородности двух биномиальных выборок

	Проверка однородности – одна из базовых проблем, решаемых статистическими методами. Она часто обсуждается в литературе, а методы проверки однородности применяются при решении многих практических задач. Например, как сравнить две группы - мужчин и женщин, молодых и пожилых, и т.п.? В маркетинге это важно для сегментации рынка. Если две группы не отличаются по ответам, значит, их можно объединить в один сегмент и проводить по отношению к ним одну и ту же маркетинговую политику, в частности, осуществлять одни и те же рекламные воздействия. Если же две группы различаются, то и относиться к ним надо по-разному. Это - представители двух разных сегментов рынка, требующих разного подхода при борьбе за их завоевание. 
	Обсуждаемая далее постановка задачи в статистических терминах такова. Рассматривается вопрос с двумя возможными ответами, например, «да» и «нет». В первой группе из n1 опрошенных m1 человек сказали «да», а во второй группе из n2 опрошенных m2 сказали «да». В вероятностной модели предполагается, что m1 и m2 - биномиальные случайные величины B(n1, p1) и B(n2, p2) соответственно. Запись B(n, p) означает, что случайная величина m имеет биномиальное распределение с параметрами n - объем выборки и p - вероятность определенного ответа (скажем, ответа «да»). Такая случайная величина может быть представлена в виде суммы m = X1 + X2 +…+Xn , где случайные величины X1, X2,…, Xn независимы, одинаково распределены, принимают два значения 1 и 0, причем Р(Xi = 1) = р, Р(Xi = 0)= 1-р, i=1,2,…,n.
	Однородность двух групп означает, что соответствующие им вероятности равны, неоднородность - что эти вероятности отличаются. В терминах прикладной математической статистики задача ставится так: необходимо проверить гипотезу однородности
H0: p1 = p2
при альтернативной гипотезе о наличии эффекта
H1: p1  p2 
(Иногда представляют интерес односторонние альтернативные гипотезы  и .)
	Оценкой вероятности р1 является частота р1*=m1/n1, а оценкой вероятности р2 является частота р2*=m2/n2 . Даже при совпадении вероятностей р1 и р2 частоты, как правило, различаются. Как говорят, «по чисто случайным причинам». Рассмотрим случайную величину р1* - р2*. Тогда
M(р1* - р2*) = р1 - р2, D(р1* - р2*) = р1 (1 - р1)/n1 + р2(1-р2)/n2.
Из теоремы Муавра-Лапласа и теоремы о наследовании сходимости (см. главу 14 настоящего учебника]) следует, что 

где - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Для практического применения этого соотношения следует заменить неизвестную статистику дисперсию разности частот на оценку этой дисперсии:
D*(р1* - р2*) = р*1 (1 - р*1)/n1 + р*2 (1-р*2)/n2.
(Могут использоваться и другие оценки рассматриваемой дисперсии, например, при справедливости нулевой гипотезы - по объединенной выборке.) С помощью указанной выше математической техники можно показать, что при такой замене предельное распределение не меняется:
 
При справедливости гипотезы однородности (т.е. при отсутствии эффекта) M(р1* - р2*) = 0. Поэтому правило принятия решения при проверке однородности двух выборок выглядит так:
	1. Вычислить статистику

	2. Сравнить значение модуля статистика |Q| с граничным значением K. Если |Q|<K, то принять гипотезу однородности H0 . Если же |Q|>K, то заявить об отсутствии однородности и принять альтернативную гипотезу H1. 
	Граничное значение К определяется выбором уровня значимости статистического критерия проверки однородности. Из приведенных выше предельных соотношений следует, что при справедливости гипотезы однородности H0 для уровня значимости имеем (при 

Следовательно, граничное значение в зависимости от уровня значимости целесообразно выбирать из условия

Здесь - функция, обратная к функции стандартного нормального распределения. В социально-экономических исследованиях наиболее распространен 5% уровень значимости, т.е.  Для него К = 1,96.
	Пример 2. Пусть в первой группе из 500 опрошенных мужчин ответили «да» 200, а во второй группе из 700 опрошенных женщин сказали «да» 350. Есть ли разница по доле отвечающих «да» между генеральными совокупностями, представленными этими двумя группами?
	Для установления взаимопонимания с маркетологом уберем из формулировки примера относящийся к теории статистики термин «генеральная совокупность». Получим следующую постановку.
	Пусть из 500 опрошенных мужчин ответили «да, я люблю пепси-колу» 200, а из 700 опрошенных женщин 350 сказали «да, я люблю пепси-колу». Есть ли разница между мужчинами и женщинами по доле отвечающих «да» на вопрос о любви к пепси-коле?
	В рассматриваемом примере нужные для расчетов величины таковы:  Вычислим статистику 

Поскольку |Q| = 3,45 > 1,96, то необходимо отклонить нулевую гипотезу и принять альтернативную. Таким образом, мужчины и женщины отличаются по рассматриваемому признаку - любви к пепси-коле. 
	Результат проверки гипотезы однородности зависит не только от частот, но и от объемов выборок. Предположим, что частоты (доли) зафиксированы, а объемы выборок растут. Тогда числитель статистики Q не меняется, а знаменатель уменьшается, значит, вся дробь возрастает. Поскольку знаменатель стремится к 0, то дробь возрастает до бесконечности и рано или поздно превзойдет любую границу. Есть только одно исключение - когда в числителе стоит 0. Следовательно, при строгом подходе к формулировкам вывод статистика должен выглядеть так: «различие обнаружено» или «различие не обнаружено». Во втором случае различие, возможно, было бы обнаружено при увеличении объемов выборок.
	Как и для доверительного оценивания вероятности, во ВЦИОМ разработаны две полезные таблицы, позволяющие оценить вызванные чисто случайными причинами допустимые расхождения между частотами в группах. Эти таблицы рассчитаны при выполнении нулевой гипотезы однородности и соответствуют ситуациям, когда частоты близки к 50% (табл. 1.9) или к 20% (табл. 1.10). Если наблюдаемые частоты - от 30 до 70%, то рекомендуется пользоваться первой из этих таблиц, если от 10 до 30% или от 70 до 90% - то второй. Если наблюдаемые частоты меньше 10% или больше 90%, то теорема Муавра-Лапласа и основанные на ней асимптотические формулы дают не очень хорошие приближения, целесообразно применять иные, более продвинутые математические средства, в частности, приближения с помощью распределения Пуассона.
	В условиях разобранного выше примера табл. 1.9 дает допустимое расхождение 7%. Действительно, объем первой группы 500 отсутствует в таблице, но строки, соответствующие объемам 400 и 600, совпадают для первых двух столбцов слева. Эти столбцы соответствуют объемам второй группы 750 и 600, между которыми расположен объем 700, данный в примере. Он ближе к 750, поэтому берем величину расхождения, стоящую на пересечении первого столбца и второй (и третьей) строк, т.е. 7%. Поскольку реальное расхождение (10%) больше, чем 7%, то делаем вывод о наличии значимого различия между группами. Естественно, этот вывод совпадает с полученным ранее расчетным путем. 

Таблица 1.9
Допустимые расхождения (в %) между частотами
в двух группах, когда наблюдаются частоты от 30 до 70%
Объемы групп	750	600	400	200	100	
750	6	7	7	10	12	
600	7	8	8	11	13	
400	7	8	10	11	14	
200	10	11	11	13	16	
100	12	13	14	16	18	

Таблица 1.10
Допустимые расхождения (в %) между частотами в двух группах, когда наблюдаются частоты от 10 до 30% или от 70 до 90%
Объемы групп	750	600	400	200	100	
750	5	5	6	8	10	
600	5	6	7	8	10	
400	6	7	8	9	11	
200	8	8	9	10	12	
100	10	10	11	12	14	

	Как и в случае табл. 1.5, значения в табл. 1.9 и 1.10 несколько больше, чем рассчитанные по приведенным выше формулам. Дело в том, что таблицы ВЦИОМ связаны не с уровнем значимости  а с уровнем значимости  которому соответствует граничное значение 2,58. 
	Допустимое расхождение между частотами нетрудно получить расчетным путем. Для этого достаточно воспользоваться формулой для статистики Q и определить, при каком максимальном расхождении частот все еще делается вывод о том, что верна гипотеза однородности. Следовательно, допустимое расхождение  находится из уравнения

Таким образом,

Для данных примера 2 = 1,96  0,029 = 0,057, или 5,7%, для уровня значимости 0,05. 
	Для других уровней значимости надо использовать другие коэффициенты  Так, K(0,01) = 2,58 для уровня значимости 1% и K(0,10) = 1,64 для уровня значимости 10%. Для данных примера = 2,58  0,029 = 0,7482  0,075, или 7,5%, для уровня значимости 0,01. Если округлить до ближайшего целого числа процентов, то получим 7%, как при использовании таблицы 9 выше. 
	Анализ табл. 1.9 и 1.10 показывает, что для обнаружения эффекта (констатации различия генеральных совокупностей) частоты должны отличаться не менее чем на 6%. А при некоторых объемах выборок - более чем на 10%, например, при объемах выборок 100 и 100 - на 19%. Если же частоты отличаются на 5% или менее, можно сразу сказать, что статистический анализ приведет к выводу о том, что различие не обнаружено (для выборок объемов не более 750).
	В связи со сказанным возникает вопрос: каково типовое отличие частот в двух выборках из одной и той же совокупности? 	Разность частот в этом случае имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию

Величина р(1 - р) достигает максимума при р = 1/2, и этот максимум равен 1/4. Если р = 1/2, а объемы двух выборок совпадают и равны 500, то дисперсия разности частот равна 

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно 0,032 или 3,2%. Поскольку для стандартной нормальной случайной величины в 50% случаев ее значение не превосходит по модулю 0,67 (а в 50% случаев - больше 0,67), то типовой разброс равен 0,67, а в рассматриваемом случае - 2,1%. 
	Приведенные соображения дают возможность построить метод контроля правильности (корректности) проведения повторных опросов. Если частоты излишне устойчивы, значения при повторных опросах слишком близки - это подозрительно! Возможно, нарушены правила проведения опросов, выборки не являются случайными, ответы фальсифицированы, и т.д.

Литература

1. Орлов А.И. Прикладная статистика. – М.: Экзамен, 2006. – 671 с.
2. Сэндидж Ч., Фрайбургер В., Ротцолл К. Реклама: теория и практика: Пер. с англ. - М.: Прогресс, 1989. - 630 с.
3. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. - М.: Наука, 1983. - 416 с.
4. Орлов А.И. Организационно-экономическое моделирование: учебник : в 3 ч. Часть 1: Нечисловая статистика. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. – 2009. – 541 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему выборочные исследования необходимы для решения многих практических задач?
2. Из партии продукции объема N = 100 изделий, содержащей D = 10 дефектных изделий, извлекают выборку объема n = 5. Для биномиальной и гипергеометрической моделей выборки рассчитайте распределения числа дефектных изделий в выборке, постройте и сравните функции распределения.
3. Какова роль теоремы Муавра-Лапласа в теории выборочных исследований?
	В задачах 4 - 8 выберите наиболее подходящий вариант ответа.
4. При какой цене максимальна прибыль в условиях пункта 1.1, если издержки (оптовая цена товара) равны 12? 
		А) 30; 		Б) 32; 		В) 35.
5. При исследовании предпочтений потребителей открытые вопросы: 
	А) труднее для опрашиваемых, но легче для обработки; 
	Б) легче для опрашиваемых, но труднее для обработки.
6. Пусть из 657 опрошенных 289 сказали «да». Доверительный интервал для доли отвечающих «да» в генеральной совокупности, соответствующий доверительной вероятности 0,95, таков:
	А) [0,245; 0,398];   Б) [0,435; 0,445];   В) [0,405; 0,556];   
	Г) [0,402; 0,478];   Д) [0,247; 0,633] .
7. Из 513 юношей 193 любят «Сникерс», а из 748 девушек – 327. Значение статистического критерия Q для проверки гипотезы о равенстве вероятностей равно: 
	А) 3,38; 	Б) -2,176; 	В) 0,25; 	Г) 12,56; 	Д) -0,173.
8. В условиях задачи 7 гипотеза об одинаковой привлекательности «Сникерса» для юношей и девушек (на уровне значимости 0,05):
 	А) принимается;  	Б) отклоняется.
9. Как понятие допустимого расхождения между частотами можно использовать при планировании выборочных исследований?
10. Рассчитайте коэффициент ценовой эластичности спроса по данным табл.1.1 при цене р = 35 и при цене р = 40.

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Проведите выборочное исследование с целью построения оценки функции ожидаемого спроса на выбранный Вами товар (услугу).
2. Найдите адекватное приближение функции спроса в табл.1.1 с помощью метода наименьших квадратов.
3. Постройте экономико-математическую модель оптимизации цены при заданных функциях спроса (в зависимости о цены) и издержек (в зависимости от выпуска).
4. Сопоставьте теорию квотной выборки с теорией простой случайной выборки.
5. Рассмотрите статистическую теорию доверительного оценивания и проверки гипотез о равенстве вероятностей в случае нескольких возможных ответов (соответственно, с использованием мультиномиального распределения вместо биномиального).
6. В каких случаях может быть использована теория малых выборок (теорема Пуассона) для доверительного оценивания вероятности определенного ответа?